newtonsche Bewegungsgleichungen

newtonsche Bewegungsgleichungen

 

['njuːtn-], die unmittelbar aus dem zweiten newtonschen Axiom abgeleiteten Bewegungsgleichungen der klassischen Mechanik. Im Unterschied zu den formalen Weiterentwicklungen der klassischen Mechanik durch J. L. de Lagrange, W. R. Hamilton und C. G. J. Jacobi wird in den newtonschen Bewegungsgleichungen mit den wirklichen Koordinaten und Impulsen der Körper im dreidimensionalen Raum gerechnet. Ist m eine Punktmasse und F die auf diese wirkende Kraft sowie r (t) ihr von der Zeit t abhängiger Ortsvektor, so ist v = dr / dt ihre Geschwindigkeit und p = mv ihr Impuls. In einem Inertialsystem gilt dann die newtonsche Bewegungsgleichung:

 

Diese Gleichung stellt die allgemeine Form des 2. newtonschen Axioms dar, die ursprünglich von I. Newton angegeben wurde. Falls sich die Masse nicht ändert (wie das in der nichtrelativistischen Mechanik der Fall ist), gilt: F = m dv / dt = m d²r / dt² = mr̈, wobei a = dv / dt = d²r / dt² die Beschleunigung ist. F ist die resultierende aller Kräfte F_i, die auf m einwirken. Sie kann von r, t und v abhängen. Der zeitliche Ablauf der Bewegung bei gegebenen Kräften wird damit durch eine Differenzialgleichung 2. Ordnung für den von t abhängigen Ortsvektor r beschrieben. Gibt man für einen Anfangszeitpunkt t₀ die Anfangswerte r₀ und v₀ vor, so erhält man durch Integration eine Lösung für r, die die Bahngleichung, d. h. die Bewegung, bestimmt.